Question

已知二次函數y=-x²+4x+m的圖象經過點M（1，0）．
（1）求這個二次函數的解析式，并求出函數圖象的頂點坐標；
（2）已知一次函數y=2x+b的圖象分別與x軸、y軸相交于點A、B，（1）中所求得的二次函數的圖象的對稱軸與一次函數y=2x+b的圖象相交于點C，并且對稱軸與x軸相交于點D．如果S△AOB=

1

4

S△ADC，求b的值．

Answer 1

分析：（1）二次函數y=-x²+4 x+m的圖象經過點M（1，0），把（1，0）代入解析式就可以得到m的值．得到函數解析式，進而求出頂點坐標．
（2）易證△AOB∽△ADC，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方，就可以求出B點的坐標．

解答：解：（1）∵二次函數y=-x²+4 x+m的圖象經過點M（1，0），
∴-1+4+m=0．（1分）
∴m=-3．（1分）
∴所求函數的解析式是y=-x²+4 x-3．（1分）
又y=-x²+4 x-3=-（x-2）²+1，
∴頂點坐標是（2，1）．（2分）

（2）由（1）得二次函數圖象的對稱軸是直線x=2，∴D（2，0）．（1分）
由題意得，A（-

b

2

，0）、B（0，b）、C（2，4+b）．（2分）
∵對稱軸直線x=2與y軸平行，
∴△AOB∽△ADC．（1分）
∴

S△AOB

S△ADC

=(

OB

CD

)2=

1

4

，即

b2

(b+4)2

=

1

4

．（1分）
解得b₁=4，b2=-

4

3

．（2分）
經驗證，b₁=4，b2=-

4

3

都是滿足條件的m的值．

點評：本題主要考查了函數解析式與圖象上的點的坐標的關系，在函數的圖象上，就一定滿足函數的解析式．