Question

（1997•海淀區）如圖，四邊形ABCD內接于半圓O，AB為直徑，過點D的切線交BC的延長線于點E．若BE⊥DE，AD+DC=40，⊙O的半徑為

50

3

，求BC的長及tan∠CDB的值．

Answer 1

分析：連接AC，由AB為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到一對直角相等，再由BE垂直于DE得到∠E為直角，進而得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到DE與AC平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，再利用弦切角等于夾弧所對的圓周角，等量代換及等角對等邊得到AD=DC，由AD+DC=40求出AD=DC=20，由圓四邊形的外角等于它的內對角得到一對角相等，再由一對直角相等得到三角形DEC與三角形ABD相似，由AD，DC，AB的長求出CE的長，根據勾股定理求出DE的長，再利用切割線定理求出EB的長，由EB-EC即可求出BC的長，根據同弧所對的圓周角相等得到∠CDB=∠CAB，在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數定義求出tan∠CAB的值，即為tan∠CDB的值．

解答：解：連接AC，
∵AB為直徑，BE⊥DE，
∴∠ADB=∠ACB=∠E=90°，
∴DE∥AC，
∴∠EDC=∠DCA，
∵ED切圓O于點D，
∴∠EDC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=DC，
∵AD+DC=40，
∴AD=DC=20，
∵圓O的半徑為

50

3

，AB為直徑，
∴AB=

100

3

，
∵四邊形ABCD內接于半圓O，
∴∠DCE=∠DAB，
又∵∠E=∠ADB=90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴

CE

AD

=

CD

AB

=

20

100 3

=

3

5

，
∴CE=

3

5

AD=

3

5

×20=12，
∴DE=

CD2-CE2

=

202-122

=16，
∵DE是切線，ECB是割線，
∴ED²=EC•EB，
∴EB=

ED2

EC

=

162

12

=

64

3

，
∴BC=BE-CE=

28

3

，
∴AC=

AB2-BC2

=

( 100 3 )2-( 28 3 )2

=32，
∴tan∠CAB=

BC

AC

=

28 3

32

=

7

24

，
∵∠CDB=∠CAB，
∴tan∠CDB=tan∠CAB=

7

24

，
則BC=

28

3

，tan∠CDB=

7

24

．

點評：此題考查了切線的性質，勾股定理，圓周角定理，以及相似三角形的判定與性質，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．