Question

（本題滿分12分）
已知直線（＜0）分別交軸、軸于A、B兩點，線段OA上有一動點P由原點O向點A運動，速度為每秒1個單位長度，過點P作軸的垂線交直線AB于點C，設運動時間為秒．

（1）當時，線段OA上另有一動點Q由點A向點O運動，它與點P以相同速度同時出發，當點P到達點A時兩點同時停止運動（如圖1）．
①直接寫出＝1秒時C、Q兩點的坐標；
②若以Q、C、A為頂點的三角形與△AOB相似，求的值．
（2）當時，設以C為頂點的拋物線與直線AB的另一交點為D
（如圖2），①求CD的長；
②設△COD的OC邊上的高為，當為何值時，的值最大？

Answer 1

（1）①C（1，2），Q（2，0）．                         ……..2分
②由題意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)，
分兩種情形討論：
情形一：當△AQC∽△AOB時，∠AQC=∠AOB＝90°，3－t=t，∴t=1.5．
情形二：當△ACQ∽△AOB時，∠ACQ=∠AOB＝90°，t =2（－t＋3），∴t=2．
∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒．                        ……6分
(2) ①由題意得：C(t，－＋3)，∴以C為頂點的拋物線解析式是，
由，解得x₁=t，x₂=t；過點D作DE⊥CP于點E
△DEC∽△AOB，∴， CD=．…….9分
②∵CD=，CD邊上的高=．∴S_△COD=．∴S_△COD為定值；
要使OC邊上的高h的值最大，只要OC最短．因為當OC⊥AB時OC最短，此時OC的長為。Rt△PCO∽Rt△OAB，∴，OP=，即t=，∴當t為秒時，h的值最大．                     …….12分解析:
略