Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F是對角線AC上的兩個(gè)動點(diǎn)，且EF＝2，P是正方形四邊上的任意一點(diǎn)．若△PEF是等邊三角形，則符合條件的P點(diǎn)共有_____個(gè)，此時(shí)AE的長為_____．

Answer 1

【答案】4 或

【解析】

當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，過點(diǎn)PH⊥EF于H，由等邊三角形的性質(zhì)可求PH＝，由正方形的性質(zhì)可求∠DAC＝45°，AC＝AB＝4，可得AH＝PH，可求AE＝﹣1，同理可求點(diǎn)P在AB，CD，BC上時(shí)，AE的值，即可求解．

解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，過點(diǎn)PH⊥EF于H，

∵△PEF是等邊三角形，PH⊥EF，

∴∠PEF＝60°，PE＝PF＝EF＝2，EH＝FH＝1，

∴PH＝，

∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，

∴∠DAC＝45°，AC＝AB＝4，

∵PH⊥AC，

∴∠APH＝∠PAH＝45°，

∴AH＝PH＝，

∴AE＝﹣1，

同理可得：當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，AE＝﹣1，

當(dāng)點(diǎn)P在CD或BC上時(shí)，AE＝4﹣2﹣（﹣1）＝4﹣﹣1，

故答案為：4，或．