Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上
一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE．

（1）求證：CE=AD；
（2）當D在AB中點時．
①求證：四邊形BECD是菱形；
②當∠A為多少度時，四邊形BECD是正方形？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE．

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四邊形ADEC是平行四邊形，

∴CE=AD

（2）①證明：∵D為AB中點，

∴AD=BD．

∵CE=AD，

∴BD=CE．

∵BD∥CE，

∴四邊形BECD是平行四邊形．

∵∠ACB=90°，D為AB中點，

∴CD=BD，

∴四邊形BECD是菱形；

②當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．

理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC．

∵D為BA中點，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°．

∵四邊形BECD是菱形，∠CDB=90°，

∴四邊形BECD是正方形．

【解析】（1）證出AC∥DE，得出四邊形ADEC是平行四邊形，即可得出結論；
（2）①先證出BD=CE，得出四邊形BECD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質得出CD=BD，即可得出四邊形BECD是菱形；
②當∠A=45°時，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性質得出CD⊥AB，即可得出四邊形BECD是正方形．

【考點精析】利用直角三角形斜邊上的中線和平行四邊形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．