Question

如圖拋物線y=，x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為D．
（1）求A、B、C的坐標(biāo)；
（2）把△ABC繞AB的中點M旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形AEBC：
①求E點坐標(biāo)；
②試判斷四邊形AEBC的形狀，并說明理由；
（3）試探索：在直線BC上是否存在一點P，使得△PAD的周長最小？若存在，請求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別令x=0以及y=0求出A、B、C三點的坐標(biāo)．
（2）依題意得出BC∥AE，又已知A、B、C的坐標(biāo)易求出點E的坐標(biāo)，又因為四邊形AEBC是平行四邊形且∠ACB=90°可得四邊形AEBC是矩形．
（3）作點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接′'D與直線BC交于點P．則可得點P是使△PAD周長最小的點，然后求出直線A′D，直線BC的函數(shù)解析式聯(lián)立方程求出點P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）y=-，
令x=0，得y=
令y=0，
即，
即x²+2x-3=0，
∴x₁=1，x₂=-3
∴A，B，C三點的坐標(biāo)分別為A（-3，0），B（1，0），C（0，）（3分）

（2）①過點E作EF⊥AB于F，
∵C（0，），
∴EF=，
∵B（1，0），
∴AF=1，
∴OF=OA-AF=3-1=2，
∴E（-2，-）（5分）
②四邊形AEBC是矩形．
理由：四邊形AEBC是平行四邊形，且∠ACB=90°（7分）

（3）存在．（8分）
D（-1，）
作出點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接A′D與直線BC交于點P．
則點P是使△PAD周長最小的點．（10分）
∵AO=3，
∴FO=3，
CO=，
∴A′F=2，
∴求得A′（3，2）
過A′、D的直線y=
過B、C的直線y=-
兩直線的交點P（-，）．（12分）
點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識以及利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，難度中上．