Question

如圖，在直角坐標平面中，O為原點，A（0，6），B（8，0）。點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線AO方向運動，點Q從點B出發，以每秒一個單位長度的速度沿x軸正方向運動，P，Q兩動點同時出發，設移動時間為t（t＞0）秒．

（1）在點P，Q的運動過程中，當點P在AO的延長線上時，若△POQ與△AOB相似，求t的值；

（2）如圖2，當直線PQ與線段AB交于點M，且時，求直線PQ的解析式；

（3）以點O為圓心，OP長為半徑畫圓⊙O，以點B為圓心，BQ長為半徑畫⊙B，討論⊙O和⊙B的位置關系，并直接寫出相應t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）據題意，t秒時AP=2t，BQ= t，OP =，OQ= 8+t 。

若△POQ∽△AOB，則，即，

解得，                                       

若△POQ∽△BOA，則，即

解得，                                    

∴當或25時 △POQ與△AOB相似．           

（2）過M分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為N、G．

根據題意得PO//MN，∴△BMN∽△BAO    ∴

∵     ∴        ∴     ∴ MN=1

同理 MG=     ∴ M（，1）             

∵ OQ= 8+t    ∴ NQ=

由△QMN∽△QPO得：，即。

解得：，或者t=0（舍去）

∴ P（0，）                                 

∴PQ直線解析式：                   

（3）當且t≠3時，兩圓外離；當時，兩圓外切；當時，兩圓相交；當時，兩圓內切；當時 兩圓內含．

【解析】(1) △POQ∽△AOB,分兩種情況進行討論；

（2）過M分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為N、G．利用△BMN∽△BAO得出，從而得出MN的長，同理可得MG的長，得出M點的坐標，同理求出P點坐標，然后再求出PQ的解析式；

（3）對t進行分段討論。