Question

如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AC=BC，D為⊙O中上一點，延長DA至點E，使CE=CD．
（1）求證：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求證：AD+BD=CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據同弧上的圓周角相等，得∠CBA=∠CDE，則∠ACB=∠ECD，可證明△ACE≌△BCD，則AE=BD；
（2）根據已知條件得，∠CED=∠CDE=45°，則DE=CD，從而證出結論．
解答：證明：（1）在△ABC中，∠CAB=∠CBA．
在△ECD中，∠E=∠CDE．
∵∠CBA=∠CDE，（同弧上的圓周角相等），
∴∠E=∠CDE=∠CAB=∠CBA，
∵∠E+∠ECD+∠EDC=180°，∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD．
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD；CE=CD；AC=BC，
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD；

（2）若AC⊥BC，∵∠ACB=∠ECD．
∴∠ECD=90°，
∴∠CED=∠CDE=45°，
∴，
又∵AD+BD=AD+EA=ED，
∴AD+BD=CD．
點評：本題是一道綜合題，考查了圓周角定理和全等三角形的判定和性質，解答這類題一些學生不會綜合運用所學知識解答問題，不知從何處入手造成錯解．