Question

（11·兵團維吾爾）（10分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠
B＝45°．動點P從點B出發(fā)沿BC向點C運動，動點Q同時以相同速度從點C出發(fā)沿CD
向點D運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．
（1）求AB的長；
（2）設BP＝x，問當x為何值時△PCQ的面積最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB邊上是否存在點M，使得四邊形PCQM為菱形？請說明理由．

Answer 1

解：（1）作AE⊥BC，

∵等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，
∴BE＝(BC－AD)÷2＝2.5，
∵∠B＝45°，

（2）作QF⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵點P和點Q的運動速度、運動時間相同，BP＝x，
∴BP＝CQ＝x，
∵BC＝9，

（3）假設AB上存在點M，使得四邊形PCQM為菱形，

∵等腰梯形ABCD，∠B＝∠C＝45°，
∴CQ＝CP＝BP＝MP，∠B＝∠C＝∠MPB＝45°，
∴∠BMP＝45°，
∵∠B＝∠MPB＝∠BMP＝45°，不符合三角形內(nèi)角和定理，
∴假設不存在，
∴邊AB上不存在點M，使得四邊形PCQM為菱形．

略