Question

如圖所示，已知拋物線的圖象與y軸相交于點B（0，1），點C（m，n）在該拋物線圖象上，且以BC為直徑的⊙M恰好經過頂點A．
（1）求k的值；
（2）求點C的坐標；
（3）若點P的縱坐標為t，且點P在該拋物線的對稱軸l上運動，試探索：
①當S₁＜S＜S₂時，求t的取值范圍（其中：S為△PAB的面積，S₁為△OAB的面積，S₂為四邊形OACB的面積）；
②當t取何值時，點P在⊙M上．（寫出t的值即可）

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線的圖象經過點B，那么點B的坐標滿足該拋物線的解析式，將其代入即可求得k的值．
（2）若⊙M經過點A，則∠BAC必為直角（圓周角定理），過C作x軸的垂線，設垂足為D，那么△BAO∽△ACD，可設出點C的坐標，根據相似三角形所得比例線段，即可得到點C橫、縱坐標的關系式，聯立拋物線的解析式即可求得C點的坐標．
（3）①由于O、A、B、C四點的坐標已經確定，所以S₁、S₂都可求出，△ABP中，以|t|為底，B點橫坐標為高，即可得到S，即S=|t|××2=|t|，因此S₁＜|t|＜S₂，將S₁、S₂的值代入上式，然后求出t的取值范圍．（注意t應該分正、負兩種情況考慮）
②若P在⊙M上，∠BPC=90°，即△BPC是直角三角形，可用坐標系兩點間的距離公式求出△BPC的三邊長，然后利用勾股定理求出t的值．
解答：解：（1）∵點B（0，1）在的圖象上，
∴，（2分）
∴k=1．（3分）

（2）由（1）知拋物線為：
，
∴頂點A為（2，0），（4分）
∴OA=2，OB=1；
過C（m，n）作CD⊥x軸于D，則CD=n，OD=m，
∴AD=m-2，
由已知得∠BAC=90°，（5分）
∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠CAD，
∴Rt△OAB∽Rt△DCA，
∴=，即=（或tan∠OBA=tan∠CAD，，即），（6分）
∴n=2（m-2）；
又∵點C（m，n）在上，
∴，
∴，
即8（m-2）（m-10）=0，
∴m=2或m=10；當m=2時，n=0，當m=10時，n=16；（7分）
∴符合條件的點C的坐標為（2，0）或（10，16）．（8分）

（3）①依題意得，點C（2，0）不符合條件，
∴點C為（10，16）
此時，
S₂=S_BODC-S_△ACD=21；（9分）
又∵點P在函數圖象的對稱軸x=2上，
∴P（2，t），AP=|t|，
∴=|t|（10分）
∵S₁＜S＜S₂，
∴當t≥0時，S=t，
∴1＜t＜21．（11分）
∴當t＜0時，S=-t，
∴-21＜t＜-1
∴t的取值范圍是：1＜t＜21或-21＜t＜-1（12分）
②t=0，1，17（14分）
點評：此題考查了二次函數解析式的確定、圓周角定理、圖形面積的求法、不等式以及相似三角形的性質等相關知識，綜合性強，難度較大．