Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點B（1，0）、C（-3，0），且過點A（3，6）．
（1）求拋物線和直線AC的解析式；
（2）設此拋物線的頂點為P，對稱軸與線段AC相交于點Q，連接CP、PB、BQ，試求四邊形PBQC的面積．
（3）在x軸上找一點M，使以點B、P、M為頂點的三角形與△ABC相似，求點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法直接將點B（1，0）、C（-3，0）、A（3，6）的坐標代入拋物線的解析式就可以求出拋物線的解析式，設出直線AC的解析式，將A、C的坐標代入就可以了．
（2）根據拋物線的解析式求出對稱軸，再求出Q點的坐標，再用S_△BCQ+S_△BCP就可以求出四邊形PBQC的面積．
（3）根據兩點間的距離公式求出AC、BC和AB的值分3種情況，當△ABC∽△MPB，△ABC∽△PMB，由相似三角形的性質可以求出對應的M的坐標．

解答：解：（1）∵點B（1，0）、C（-3，0）、A（3，6）在物線y=ax²+bx+c上，
∴

0=a+b+c 0=9a-3b+c 6=9a+3b+c

解得，

a= 1 2 b=1 c=- 3 2

∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+x-

3

2

．
設直線AC的解析式為y=kx+b，由題意，得

0=-3k+b 6=3k+b

，
解得

b=3 k=1

，
∴直線AC的解析式是：y=x+3．

（2）∵拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+x-

3

2

．
y=

1

2

（x+1）²-2
∴對稱軸x=-1，P（-1，-2）
∴y=-1+3=2，
∴Q（-1，2）．
∵B（1，0）、C（-3，0），
∴BC=4，
∴S四邊形CPDQ=S_△BCQ+S_△BCP
=

4×2

2

+

4×2

2

=8

（3）∵B（1，0）、C（-3，0）、A（3，6）、P（-1，-2），
∴由兩點間的距離公式，得
AC=6

2

，AB=2

10

，BC=4，BP=2

2

當△ABC∽△M₁PB時，

AC

BM1

=

BC

BP

∴

6 2

BM1

=

4

2 2

，
BM₁=6
∴M₁（-5，0），
當△ABC∽△PM₂B時，
∴

BC

M2B

=

AC

BP

，
∴

4

M2B

=

6 2

2 2

∴M₂B=

4

3

，
∴M₂（-

1

3

，0）
∴M（-5，0）或（-

1

3

，0）

點評：本題試一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求拋物線的解析式和直線的解析式，四邊形的面積公式及相似三角形的判定及性質．