Question

如圖，已知O是平面直角坐標系的原點，半徑為1的⊙B經過點O，且與x、y
軸分別交于點A、C，點A的坐標為（-，0），AC的延長線與⊙B的切線OD
交于點D.
（1）求OC的長和∠CAO的度數；
（2）求點D的坐標；
（3）求過點A，O，D三點的拋物線的解析式；
（4）在（3）中，點P是拋物線上的一點，試確定點P的位置，使得△AOP的
面積與△AOC的面積相等.

Answer 1

（1）∵∠AOC=90^o，
∴AC是⊙O的直徑，∴AC=2.
又∵點A的坐標為（-，0），∴OA=.
∴OC===1.
∴sin∠CAO==，∴∠CAO=30^o.………2分
（2）如圖，連接OB，過點D作DE⊥x軸于點E.
∵OD為⊙O的切線，∴OB⊥OD，∴∠BOD=90^o.
∵AB=OB，∴∠AOB=∠OAB=30^o.
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90^o +30^o=120^o.…………4分
在△AOD中，∠ODA=180^o-120^o-30^o=30^o=∠OAD，
∴OD=OA=.
在Rt△DOE中，∠DOE=180^o-120^o=60^o. ∴OE=OD·cos60^o=OD=，
ED=OD·sin60^o= . ∴點D的坐標為（，）……………………7分
（3）因為過點A，O，D三點的拋物線過原點，故設其解析式為y=ax²+bx.
將A(-，0)，D（，）代入解析式，得
解得
∴過點A，O，D三點的拋物線解析式為y=x²+x..………………10分
（4）∵△AOP與△AOC面積相等，且有公共邊OA，
∴OA邊上的高相等
設P點的為（x，y），則=OC=1，y=±1.
當y=1時，x²+x=1，解方程得，x₁=，x₂=………………11分
當y=-1時，x²+x=-1，此方程△<0，方程無解.
∴當P點的坐標是（，1）或（，1）時，△AOP與△AOC面積相等.……………………………………………………………………………………12分解析:
略