Question

我們運用圖中大正方形的面積可表示為（a+b）²，也可表示為c²+4（ab），即（a+b）²=c²+4（ab），由此推導出一個重要的結論，a²+b²=c²，這個重要的結論就是著名的“勾股定理”．這種根據圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱“無字證明”．

（1）請你用圖（II）的面積表達式驗證勾股定理（其中四個直角三角形的較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c）
（2）請你用圖（III）提供的圖形組合成一個新的圖形，使組合成的圖形的面積表達式能夠驗證（x+y）²=x²+2xy+y²．畫出圖形并做適當標注．
（3）請你自己設計一個組合圖形，使它的面積能驗證：（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²，畫出圖形并做適當標注．

Answer 1

解：（1）大正方形的面積為：c²，中間空白部分正方形面積為：（b-a）²；
四個陰影部分直角三角形面積和為：4×ab；
由圖形關系可知：大正方形面積=空白正方形面積+四直角三角形面積，即有：
c²=（b-a）²+4×ab=b²-2ab+a²+2ab=a²+b²；

（2）如圖1所示：大正方形邊長為（x+y）所以面積為：（x+y）²，
它的面積也等于兩個邊長分別為x，y和兩個長為x寬為y的矩形面積之和，
即x²+2xy+y²
所以有：（x+y）²=x²+2xy+y²成立；

（3）如圖2所示：大矩形的長、寬分別為（n+m），（n+2m），則其面積為：（m+n）•（n+2m），
從圖形關系上可得大矩形為一個邊長為x的正方形以及2個邊長為y的正方形和三個小矩形構成的則其面積又可表示為：
2m²+3mn+n²，
則有：（n+m）（n+2m）=2m²+3mn+n²．
分析：（1）根據陰影部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積=4個直角三角形的面積，即可證明；
（2）可以拼成一個邊長是x+y的正方形，它由兩個邊長分別是x、y的正方形和兩個長、寬分別是x、y的長方形組成；
（3）可以拼成一個長、寬分別是m+n和n+2m的長方形，它由邊長是m的正方形，以及邊長為n的正方形和長寬分別是n和m的矩形進而得出答案．
點評：此題主要考查了勾股定理的證明，注意熟練掌握通過不同的方法計算同一個圖形的面積來證明一些公式的方法．