Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長與Rt△PQR的直角邊PQ的長均為4cm，QR=8cm，AB與QR在同一直線l上，開始時點Q與點A重合，讓△PQR以1cm/s的速度在直線l上運動，同時M點從點Q出發以1cm/s沿QP運動，直至點Q與點B重合時，都停止運動，設運動的時間為t（s），四邊形PMBN的面積為S（cm²）．
（1）當t=1s時，求S的值；
（2）求S與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍（不考慮端點）；
（3）是否存在某一時刻t，使得四邊形PMBN的面積？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；
（4）是否存在某一時刻t，使得四邊形PMBN為平行四邊形？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當t=1時，AQ=QM=1，QB=3，BR=5，由tan∠PRQ=就可以求出BN的值，就根據梯形面積公式就可以求出S的值；
（2）根據梯形的面積公式=就可以表示出S的值；
（3）用（2）的結論S與t的函數關系式與S△PQR的值相等建立方程求出其解即可；
（4）根據平行四邊形的判定方法當PM=BN時，求出其t的值就可以求出結論．
解答：解：（1）當t=1時，AQ=MQ=1，AB=PQ=4，
∴MP=QB=4-1=3．
∵QR=8，
∴BR=8-3=5．
∵在Rt△PQR中，PQ=4，QR=8，
∴tan∠PRQ==．
∴，
∴，
∴BN=2.5．
S_{四邊形PMBN}==（0≤t≤4）；

（2）由題意，得
AQ=MQ=t，PM=BQ=4-t，BR=8-（4-t）=4+t，
∴BN=2+t，
∴S_{四邊形PMBN}=，
=t²-4t+12；

（3）由題意，得
t²-4t+12=×4×8，
解得：t₁=8+4（舍去），t₂=8-4，
∴t的值為4+；

（4）∵四邊形PMBN是平行四邊形，
∴PM=BN．
∵PM=4-t，BN=2+t，
∴4-t=2+t，
∴t=
∴t=時，四邊形PMBN為平行四邊形．
點評：本題是一道動點問題的綜合題，考查了梯形的面積公式的運用，三角函數的正切值的運用，三角形的面積公式的運用，平行四邊形的判定及性質的運用，解答時運用梯形的面積公式建立等量關系式解答本題的關鍵．