Question

（1）如圖，∠MON=80°，點A、B分別在射線OM、ON上移動，△AOB的角平分線AC與BD交于點P．試問：隨著點A、B位置的變化，∠APB的大小是否會變化？若保持不變，請求出∠APB的度數．若發生變化，求出變化范圍．

（2）畫兩條相交的直線OX、OY，使∠XOY=60°，②在射線OX、OY上分別再任意取A、B兩點，③作∠ABY的平分線BD，BD的反向延長線交∠OAB的平分線于點C，隨著點A、B位置的變化，∠C的大小是否會變化？若保持不變，請求出∠C的度數．若發生變化，求出變化范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據三角形內角和定理及角平分線的性質求出∠APB的度數，再根據三角形內角和是180°即可求解；
（2）根據CBO=∠DBY=∠ABD，∠XOY=60°可得出∠OAC、∠CAB及∠OAB的關系，再根據三角形的內角和定理即可求解．

解答：解：（1）不變；
∵△AOB的角平分線AC與BD交于點P，
∴∠PAB=

1

2

∠BAO，∠PBA=

1

2

∠ABO，
∴∠APB=180°-（

∠ABO

2

+

∠BAO

2

）（三角形內角和定理），
∵∠ABO+∠BAO+80°=180°，
∴∠APB=130°；

（2）保持不變；
∵∠ABD是△ABC的外角，
∴∠ABD=∠C+∠BAC①，
又∵∠YBA是△AOB的外角，
∴∠ABY=∠AOB+∠OAB②，
由BD平分∠YBA，AC平分∠BAO，
∴∠YBD=∠ABD=

1

2

∠YBA，∠BAC=∠OAC=

1

2

∠OAB，又∠AOB=60°，
②÷2得：

1

2

∠ABY=

1

2

∠AOB+

1

2

∠OAB，
即∠ABD=30°+∠BAC③，
由①和③得：∠C=30°．
答：∠APB=130°；∠C=30°．

點評：本題考查的是三角形的內角和定理及三角形外角的性質，解答此題的關鍵是熟知以下知識：
①三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內角的和；②三角形的內角和是180°．