Question

已知拋物線與x軸有兩個交點．
（1）求k的取值范圍；
（2）設拋物線與x軸的一個交點為A（-1，0），求此拋物線的解析式，并求出與x軸的另一個交點B的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線與y軸交于點C，點D在y軸的正半軸上，且以A、O、D為頂點的三角形和以B、O、C為頂點的三角形相似，求點D的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴△＞0，
∴（-1）²-4×k＞0，
∴解得k＜；

（2）將A（-1，0）代入得，
+1+k=0，
解得k=-，
則函數解析式為y=x²-x-．
當y=0時，x²-x-=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
于是B點坐標為（3，0）；

（3）設點D坐標為（0，y），y＞0，
因以A、O、D為頂點的三角形和以B、O、C為頂點的三角形相似，
則①△OCB∽△OAD，=，
即=，
解得OD=，故D（0，）；
②△OCB∽△ODA，=，
即OD=，
故點D的坐標為：（0，）或（0，）．
分析：（1）根據拋物線與x軸交點個數與相對應的一元二次方程的根的判別式的關系即可解答；
（2）將A（-1，0）代入即可求出k的值，從而得到拋物線的解析式．
（3）根據題意，分△OCB∽△OAD和△OCB∽△ODA兩種情況討論．
點評：此題考查了二次函數的綜合運用，涉及拋物線的性質、相似三角形的性質等內容，要注意分類討論．