Question

春節前期，某超市出售某種進價為每千克110元的開心果．調查發現，若每千克以130元的價格出售，平均每天銷售這種開心果30千克，銷售價格每降低1元，平均每天可多銷售20千克（售價不得低于115元/千克）．設每千克降低售價x元（x為正整數），每天的銷售利潤為y元．
（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）每千克開心果的售價定為多少元時，每天可獲得最大利潤？每天獲得的最大利潤是多少？
（3）若每天銷售這種開心果的利潤不低于1 950元，則銷售價應在什么范圍？

Answer 1

解：（1）y=（130-110-x）（30+20x）
=-20x²+370x+600（1≤x≤15，且x為整數）；

（2）∵a=-20＜0，
∴當時，y有最大值，
∵x為正整數，
∴當x=9時，y有最大值：-20×9²+370×9+600=2310（元）
∴當售價定為121元/千克時，每天利潤最大，最大利潤為2 310元；

（3）當y=1 950時，有-20x²+370x+600=1 950．
解得x₁=5，．
∵x為正整數，
∴5≤x≤13，且x為整數．
∴售價在不低于117元/千克且不高于125元/千克且為整數時，每天的銷售利潤不低于1 950元．
分析：（1）每天的銷售利潤=降價后每千克的銷售利潤×（30+多銷售的千克數），根據售價的范圍可得自變量的取值；
（2）易得二次函數的對稱軸，進而得到離對稱軸最近的整數，算出相應的利潤即可；
（3）讓銷售利潤=1950，得到x的值，進而得到售價的取值范圍即可．
點評：考查二次函數的應用；得到每天可售出的千克數是解決本題的突破點；本題需注意x的取值應為整數．