Question

如圖①，△ABC中，AB=BC，∠B=90°，點A，B的坐標分別（0，10），（8，4），點C在 第一象限．動點P從點A出發沿邊AB―BC勻速運動，同時動點Q以相同的速度在x軸上運動，圖②是當點P在邊AB上運動時，點Q的橫坐標x（長度單位）關于運動時間t（秒）的函數圖象．

（1）求點P、Q運動的速度；

（2）求點C的坐標；

（3）求點P在邊AB上運動時，△OPQ的面積S（平方單位）關于時間t（秒）的函數關系式，并求當點P運動到邊AB上哪個位置時，△OPQ的面積最大？

（4）（本小題為選做題，做對另加3分，但全卷滿分不超過150分）已知點P在邊AB上運動時，∠OPQ的大小隨時間t的增大而增大，點P在邊BC上運動時，∠OPQ的大小隨時間t的增大而減小，那么當點P在這兩邊上運動時，使∠OPQ =90°的點P有

              ______個（只填結論，不需解答過程）．

 

  圖 ①                           圖②           

Answer 1

解：（1）（11-1）÷10=1（長度單位/秒）

   （2）如圖，作CD⊥x軸于D，作EF∥x軸交y軸、CD分別于點E、F，

∵B（8，4）∴EB=8，OE=4，

             

∴AE=10-4=6，∴AB=BC=，∵∠ABC =90°

∴△BCF≌△ABE，∴BF=AE=6，CF=EB=8，∴CD=12，

OD=EF=EB+BF=14，∴C（14，12）；   

（3）作PG⊥y軸于G，則△AGP∽△AEB，∴，∴

    ∴，，∴OG=10-，由圖②，當t=0時，x=1，∴OQ=1+t，

S_△OPQ=

    ∴ （）

    當時（在范圍內），S最大.

    此時PG=，OG=10-，∴P（）.  

（4）2