Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于，，、、分別是、、的中點，下列結論：

①；②；③；④平分；⑤四邊形是菱形．

其中正確的是(　　)

A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤

Answer 1

【答案】B

【解析】

由平行四邊形的性質可得OB＝BC，由等腰三角形的性質可判斷①正確，由直角三角形的性質和三角形中位線定理可判斷②錯誤，通過證四邊形BGFE是平行四邊形，可判斷③正確，由平行線的性質和等腰三角形的性質可判斷④正確，由∠BAC≠30°可判斷⑤錯誤．

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，
又∵BD＝2AD，
∴OB＝BC＝OD＝DA，且點E是OC中點，
∴BE⊥AC，故①正確，
∵E、F分別是OC、OD的中點，
∴EF∥CD，EF＝CD，
∵點G是Rt△ABE斜邊AB上的中點，
∴GE＝AB＝AG＝BG
∴EG＝EF＝AG＝BG，無法證明GE＝GF，故②錯誤，
∵BG＝EF，AB∥CD∥EF
∴四邊形BGFE是平行四邊形，
∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS）故③正確
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠AEF，
∴AE平分∠GEF，故④正確，
若四邊形BEFG是菱形
∴BE＝BG＝AB，
∴∠BAC＝30°
與題意不符合，故⑤錯誤
故選：B．