Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E是CD邊上一點，CE=1，點F是BC的中點，求證：AF⊥EF．

Answer 1

【答案】分析：由正方形的四條邊相等得到AB=BC=4，再由F為BC中點，求出BF=FC=2，且四個角為直角，進而確定出兩邊對應成比例且夾角相等，得到三角形ABF與三角形ECF相似，由相似三角形的對應角相等得到一對角相等，再由同角的余角相等及垂直的定義即可得證．
解答：證明：∵正方形ABCD的邊長為4，CE=1，點F是BC的中點，
∴AB=BC=4，BF=FC=BC=2，∠B=∠C=90°
∴在Rt△ABF和Rt△FCE中，
==2，且∠B=∠C=90°，
∴△ABF∽FCE，
∴∠AFB=∠FEC，
∵∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠EFC+∠AFB=90°，
則∠AFE-180°-（∠EFC+∠AFB）=90°，即AF⊥EF．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，以及正方形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．