Question

【題目】在平面直角坐標系中，點為坐標原點，直線過點且與軸平行，直線過點且與軸平行，直線與相交于．點為直線上一點，反比例函數的圖象過點且與直線相交于點．

(1)若點與點重合，求的值；

(2)連接、、，若的面積為面積的2倍，求點的坐標；

(3)當時，在軸上是否存在一點 ，使是等腰直角三角形？如果存在，直接寫出點坐標：若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）點E的坐標為（，2）或（3，2）時的面積為面積的2倍；（3）當時，G（0,1）或（0, ），此時是等腰直角三角形

【解析】

（1）根據平行線的性質得到點P的坐標，由點E與點P重合得到點E的坐標，將點E的坐標代入中即可求出k的值；

（2）根據題意畫出圖形，用k表示點E及點F的坐標，得到對應線段的長度，分三種情況利用的面積為面積的2倍分別求出k的值，即可得到點E的坐標；

（3）由知點E在點P的右邊，點F在點P的上邊，畫出圖象，設點E的坐標及點F的坐標，分三種情況，根據等腰直角三角形的性質證明全等即可求出答案.

（1）由題意得點P(1,2)，

∵點與點重合，

∴E（1,2），

∵的圖象過點，

∴k=；

（2）①當0<k<2時，如圖1，

根據題意知：四邊形OAPB是矩形，BP=1，AP=2，,

∵點E、F都在反比例函數的圖象上，

∴E（，2），F（1，k），

∴BE=，PE=1-，AF=k，PF=2-k，

∵，

，

，

，

∴，

解得， （舍去），

∴E（，2）；

當k=2時，△OEF不存在；

②當k>2時，如圖2，過點E作x軸的垂線EC，垂足為C，過點F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD相交于點H，則四邊形OCHD是矩形，

∵E（，2），F（1，k），

∴PE=-1，PF=k-2，

∴，

∵四邊形PEGF是矩形，

∴

∵,

，

=，

∴=2，

解得，（舍去），

∴E（3,2），

綜上，點E的坐標為（，2）或（3，2）時的面積為面積的2倍；

（3）存在，

∵k>0，

∴點E在點P的右邊，點F在點P的上邊，

①如圖3，∠FEG=90°，EF=EG,

設E（m，2），則F（1,2m），

∵∠EPF=EBG，EF=EG，∠FEP=∠BGE，

∴△FEP≌△EGB，

∴PF=BE，BG=EP，

∴m=2m-2，

∴m=2，

∴BG=PE=1，

∴G（0,1）；

②如圖4，∠EFG=90°，EF=FG，作FM⊥y軸，

設E（m，2），則F（1,2m），

可得△FEP≌△FMG，

∴FM=FP，MG=EP，

∴2m-2=1，

∴m=，

∴F（1,3），E（，2），

∴MG=PE=-1=，

∴G（0, ）；

③∠EGF=90°的情況不存在，

綜上，當時，G（0,1）或（0, ），此時是等腰直角三角形.