Question

如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=1，將矩形ABCD繞點B按順時針方向旋轉后得到矩形A′BC′D，邊A′B交線段CD于H，若BH=DH，則△BCC′的面積是    ．

Answer 1

【答案】分析：作HE⊥AB于E，CF⊥BC′于F，設BH=x，則DH=x，在Rt△BEH中，根據(jù)勾股定理得到BE²+HE²=BH²，即（2-x）²+1²=x²，可解得x=，即BH=；再根據(jù)旋轉的性質得到∠ABA′=∠CBC′，BC′=BC=1，根據(jù)相似三角形的判定方法易得Rt△BEH∽Rt△BFC，則HE：FC=BH：BC，即1：FC=：1，可求出FC，然后利用三角形的面積公式計算△BCC′的面積．
解答：解：作HE⊥AB于E，CF⊥BC′于F，如圖，
設BH=x，則DH=x，
∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，
∴AE=DH=x，HE=AD=1，
∴BE=AB-AE=2-x，
在Rt△BEH中，∵BE²+HE²=BH²，即（2-x）²+1²=x²，
∴x=，即BH=，
∵矩形ABCD繞點B按順時針方向旋轉后得到矩形A′BC′D，
∴∠ABA′=∠CBC′，BC′=BC=1，
∴Rt△BEH∽Rt△BFC，
∴HE：FC=BH：BC，即1：FC=：1，
∴FC=，
∴△BCC′的面積=BC′•FC=×1×=．
故答案為．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角；對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了勾股定理、矩形的性質以及相似三角形的判定與性質．