Question

如圖1，在ΔABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．小明通過以下計算：由題意，∠B＝30°，∠C＝90°，c＝2b，a＝b，得a²－b²＝(b)²－b²＝2b²＝b?c．即a²－b²＝ bc．

于是，小明猜測：對于任意的ΔABC，當∠A＝2∠B時，關系式a²－b²＝bc都成立．

（1）如圖2，請你用以上小明的方法，對等腰直角三角形進行驗證，判斷小明的猜測是否正確，并寫出驗證過程；

（2）如圖3，你認為小明的猜想是否正確，若認為正確，請你證明；否則，請說明理由；

（3）若一個三角形的三邊長恰為三個連續偶數，且∠A＝2∠B，請直接寫出這個三角形三邊的長，不必說明理由．

Answer 1

解：(1) 由題意，得∠A=90°，c=b，a=b，

∴a²b²=(b)²b²=b²=bc．

(2) 小明的猜想是正確的．

理由如下：如圖3，延長BA至點D，使AD=AC=b，連結CD，

則ΔACD為等腰三角形．

∴∠BAC=2∠ACD，又∠BAC=2∠B，∴∠B=∠ACD=∠D，∴ΔCBD為等腰三角形，

即CD=CB=a，

又∠D＝∠D，∴ΔACD∽ΔCBD，

∴．即．∴a²=b²＋bc．∴a²b²= bc

(3) a=12，b=8，c=10．