Question

如圖，正方形ABCD中，P為對角線上的點，PB=AB，連PC，作CE⊥CP交AP的延長線于E，AE交CD于F，交BC的延長線于G，則下列結論：①E為FG的中點；②FG²=4CF•CD；③AD=DE；④CF=2DF．其中正確的個數是（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：①根據正方形的性質求證△ABP≌△CBP，再利用全等三角形的性質和直角三角形中兩銳角互余的性質求證∠5=∠G，∠3=∠4，從而得出EG=EF，即E為FG的中點．
②先求證△CEF∽△CDE，可得CE²=CF•CD，再利用FG=2CE，然后代入即可得出結論．
③根據AB=BC，∠ABD=∠CBD，BP=BP，求證△ABP≌△CBP，再利用AB∥CD，EF=CE，求證D、P、C、E四點共圓，然后可得∠DAP=∠DCP=∠DEA即可證明結論．
④根據△PDF∽△PBA，利用其對應邊成比例可求得CF=DF．
解答：解：①如圖：正方形ABCD中BA=BC，∠ABP=∠CBP，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，那么∠1=∠2，
在直角三角形ABG中∠1與∠G互余，
∠PCE=90°，那么∠2與∠5互余，
∴∠5=∠G，
∴EC=EG．
在直角三角形FCG中∠3與∠G互余，∠4與∠5也互余，而∠5=∠G，
∴∠3=∠4，
∴EC=EF，
從而得出EG=EF，即E為FG的中點．
∴①正確．
③∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DFA，
∵AB=BP，
∴∠1=∠BPA，
∵∠DPF=∠APB，
∵EF=CE，
∴∠3=∠4，
∴∠4=∠DPE，
∴D、P、C、E四點共圓，
∴∠DEA=∠DCP，
∵∠1+∠DAP=90°，∠2+∠DCP=90°，
∴∠DAP=∠DCP=∠DEA，
∴AD=DE，
∴③正確，
②∵∠3=∠4，AD=DE（③已求證），
∴△CEF∽△CDE，
∴=，即CE²=CF•CD，
∵∠3=∠4，
∴CE=EF，
∵E為FG的中點．
∴FG=2CE，即CE=FG，
∴=CF•CD，
即FG²=4CF•CD，
∴②正確．
④∵四邊形ABCD是正方形，
∴△PDF∽△PBA，
∴==，
∴=，
∴=，
即CF=DF，
∴④錯誤，
綜上所述，正確的由①②③．
故選C．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，正方形的性質，勾股定理等知識點，有一定的拔高難度，屬于難題．