Question

【題目】勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系，其中蘊含著豐富的科學知識和人文價值．如圖所示，是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定規律長成的勾股樹，樹的主干自下而上第一個正方形和第一個直角三角形的面積之和為，第二個正方形和第二個直角三角形的面積之和為，…，第個正方形和第個直角三角形的面積之和為．

設第一個正方形的邊長為1．

請解答下列問題：

（1）______．

（2）通過探究，用含的代數式表示，則______．

Answer 1

【答案】 （為整數）

【解析】

根據正方形的面積公式求出面積，再根據直角三角形三條邊的關系運用勾股定理求出三角形的直角邊，求出S1，然后利用正方形與三角形面積擴大與縮小的規律推導出公式．

解：（1）∵第一個正方形的邊長為1，
∴正方形的面積為1，
又∵直角三角形一個角為30°，
∴三角形的一條直角邊為，另一條直角邊就是，
∴三角形的面積為，
∴S1=；
（2）∵第二個正方形的邊長為，它的面積就是，也就是第一個正方形面積的，
同理，第二個三角形的面積也是第一個三角形的面積的，
∴S2=（），依此類推，S3=（），即S3=（），
Sn=（n為整數）．

故答案為：（1） ；（2）（為整數）