Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，將△ABC繞點B順時針旋轉角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁，A₁B交AC于點E，A₁C₁分別交AC、BC于D、F兩點．

（1）如圖1，觀察并猜想，在旋轉過程中，線段EA₁與FC有怎樣的數量關系？并證明你的結論；
（2）如圖2，當α=30°時，試判斷四邊形BC₁DA的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的情況下，求ED的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質得到對應邊相等和對應角相等，從而得到全等三角形，根據全等三角形的性質進行證明；
（2）在（1）的基礎上，易發現該四邊形的四條邊相等，從而證明是菱形；
（3）根據菱形的性質和解直角三角形的知識以及等腰三角形的性質求解．
解答：解：（1）EA₁=FC．
證明：（證法一）∵AB=BC，
∴∠A=∠C．
由旋轉可知，AB=BC₁，∠A=∠C₁，∠ABE=∠C₁BF，
∴△ABE≌△C₁BF．
∴BE=BF，又∵BA₁=BC，
∴BA₁-BE=BC-BF．即EA₁=FC．
（證法二）∵AB=BC，∴∠A=∠C．
由旋轉可知，∠A₁=∠C，A₁B=CB，而∠EBC=∠FBA₁，
∴△A₁BF≌△CBE．
∴BE=BF，∴BA₁-BE=BC-BF，
即EA₁=FC．

（2）四邊形BC₁DA是菱形．
證明：∵∠A₁=∠ABA₁=30°，
∴A₁C₁∥AB，同理AC∥BC₁．
∴四邊形BC₁DA是平行四邊形．
又∵AB=BC₁，
∴四邊形BC₁DA是菱形．

（3）（解法一）過點E作EG⊥AB于點G，則AG=BG=1．
在Rt△AEG中，AE=．
由（2）知四邊形BC₁DA是菱形，
∴AD=AB=2，
∴ED=AD-AE=2-．
（解法二）∵∠ABC=120°，∠ABE=30°，∴∠EBC=90°．
在Rt△EBC中，BE=BC•tanC=2×tan30°=．
∴EA₁=BA₁-BE=2-．
∵A₁C₁∥AB，
∴∠A₁DE=∠A．
∴∠A₁DE=∠A₁．
∴ED=EA₁=2-．
點評：本題主要考查旋轉、全等三角形、特殊平行四邊形、解直角三角形等知識．解決本題的關鍵是結合圖形，大膽猜想．