Question

如圖，已知AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一點O，以O為圓心OB為半徑作圓，且⊙O過A點，過A作AD∥BC交⊙O于D，
求證：（1）AC是⊙O的切線；
（2）四邊形BOAD是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰三角形性質和技術性的內角和定理求出∠ABC和∠C的度數，求出∠BAO，求出∠OAC=90°，根據切線的判定求出即可；
（2）連接AE，求出∠AEB的度數，根據平行線求出∠DAO，根據圓內接四邊形性質求出∠D，根據四邊形的內角和定理求出∠DAO，根據平行四邊形的判定得出平行四邊形BOAD，根據菱形的性質求出即可．
解答：（1）證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠BAC）=30°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=30°，
∴∠OAC=120°-30°=90°，
即OA⊥AC，
∵OA為⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線．

（2）證明：連接AE，
∵∠AOB=∠C+∠OAC=30°+90°=120°，
∴由圓周角定理得：∠AEB=∠AOB=60°，
∵D、B、E、A四點共圓，
∴∠D+∠AEB=180°，
∴∠ADB=120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAO+∠BOA=180°，
∴∠DAO=60°，
∴∠DBO=360°-60°-120°-120°=60°，
即∠D=∠BOA，∠DBO=∠DAO，
∴四邊形BOAD是平行四邊形，
∵OA=OB，
∴平行四邊形BOAD是菱形．
點評：本題考查的知識點有等腰三角形性質、三角形的內角和定理、切線的判定、平行四邊形的判定、平行線性質、菱形的判定、圓周角定理、圓內接四邊形，本題主要考查了學生的推理能力，是一道比較好的題目．