Question

閱讀以下短文，然后解決下列問題：
如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”，如圖①所示，矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”，顯然，當△ABC是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個．
（1）仿照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”；
（2）如圖②，若△ABC為直角三角形，且∠C=90°，在圖②中畫出△ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大小；
（3）若△ABC是銳角三角形，且BC＞AC＞AB，在圖③中畫出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并加以證明．

Answer 1

分析：（1）類似“友好矩形”的定義，即可寫出“友好平行四邊形”的定義：
如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”；
（2）根據定義，則分別讓直角三角形的直角邊或斜邊當矩形的一邊，過第三個頂點作它的對邊，從而畫出矩形．根據每個矩形和直角三角形的面積的關系，比較兩個矩形的面積大小；
（3）分別以三角形的一邊當矩形的另一邊，過第三個頂點作矩形的對邊，從而畫出矩形，根據三角形和矩形的面積公式，可知三個矩形的面積相等，設矩形的面積是S，三角形的三條邊分別是a，b，c．根據矩形的面積由其中一邊表示出矩形的另一邊，進一步求得其周長，運用求差法比較它們的周長的大小．

解答：解：（1）如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”．     

（2）此時共有2個友好矩形，如圖的BCAD、ABEF．     
易知，矩形BCAD、ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍，
∴△ABC的“友好矩形”的面積相等．                

（3）此時共有3個友好矩形，如圖的BCDE、CAFG及ABHK，
其中的矩形ABHK的周長最小．                        

證明如下：
易知，這三個矩形的面積相等，令其為S，設矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長分別為L₁，L₂，L₃，
△ABC的邊長BC=a，CA=b，AB=c，則：
L₁=

2S

a

+2a，L₂=

2S

b

+2b，L₃=

2S

c

+2c，
∴L₁-L₂=（

2S

a

+2a）-（

2S

b

+2b）=-

2s

ab

（a-b）+2（a-b）=2（a-b）•

ab-S

ab

，
而ab＞S，a＞b，
∴L₁-L₂＞0，即L₁＞L₂，
同理可得，L₂＞L₃，
∴L₃最小，即矩形ABHK的周長最小．

點評：理解該題中的新定義，能夠根據定義正確畫出符合要求的圖形，掌握三角形和矩形的面積公式，能夠運用求差法比較數的大小．