Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O 是Rt△ABC的內切圓，其半徑為1，E、D是切點，∠BOC=105°．求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：首先根據切線長的性質以及切線的性質得出BD的長，進而得出BC的長以及AB的長，即可得出AE的長．
解答：解：連接OD、OE．
則OD=OE=1，
∵O是△ABC的內切圓圓心
∴OB、OC分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，
即且
又∵∠ACB=90°，∴，
∵OD、OE是過切點的半徑，
∴OD⊥BC 且OE⊥AB，∴∠OCD+∠COD=90°，
∴∠COD=∠OCD=45°，∴OD=CD=1，
∵∠COB=105°，∴∠DOB=∠COB-∠COD=60°，
在Rt△OBD中，
，
∴，
∠OBD+∠BOD=90°，∴∠OBD=30°，
∵，
∴∠ABC=60°，
∴BC=BD+CD=1+
在Rt△ABC中，
AB=2+2，
在Rt△OBE中，
∵OE=1，∠OBE=30°，
∴BE==，
∴AE=2+．
點評：此題主要考查了切線的性質以及銳角三角函數的應用，正確得出∠ABC的度數以及BC的長是解題關鍵．