Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，且AC=CD．
（1）求證：OC∥BD；
（2）若BC將四邊形OBDC分成面積相等的兩個三角形，試確定四邊形OBDC的形狀．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由AC=CD得到弧AC與弧CD相等，然后得到∠ABC=∠CBD，而OC=OB，所以得到∠OCB=∠OBC，接著得到∠OCB=∠CBD，由此即可證明結論；
（2）首先由BC將四邊形OBDC分成面積相等的兩個三角形根據三角形的面積公式可以推出OC=BD，而后利用（1）的結論可以證明四邊形OBDC為平行四邊形，再利用OC=OB即可證明四邊形OBDC為菱形．
解答：（1）證明：∵AC=CD，
∴弧AC與弧CD相等，
∴∠ABC=∠CBD，
又∵OC=OB（⊙O的半徑），
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠CBD，
∴OC∥BD；

（2）解：∵OC∥BD，
不妨設平行線OC與BD間的距離為h，
又S_△OBC=OC×h，S_△DBC=BD×h，
因為BC將四邊形OBDC分成面積相等的兩個三角形，
即S_△OBC=S_△DBC，
∴OC=BD，
∴四邊形OBDC為平行四邊形，
又∵OC=OB，
∴四邊形OBDC為菱形．
點評：此題綜合運用了等腰三角形的性質、三角形的面積公式、圓周角定理和等弧對等弦等知識，有一定的難度．