Question

如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心半徑為2畫⊙O．
（1）若A的坐標為（4，0）時，過點A的直線切⊙O于點P，交y軸于點B．求線段AP的長．
（2）求出AB所在的直線解析式．
（3）如圖，若P是⊙O上一動點，且P在第一象限內，過點P作⊙O的切線與x軸交與點A，與y軸交于點B．請問：在⊙O是否存在一點Q，使得以Q，O，A，P為頂點的四邊形是一個平行四邊形？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OP．利用切線的性質推知△OPA為直角三角形，然后根據勾股定理來求AP的長度；
（2）利用直線AB的斜率和該直線在y軸上的截距來書寫直線AB的解析上；
（3）此題應分兩種情況：
①OP為對角線，此時OQ∥AP，由于∠OPA=90°，那么∠POQ=90°，即△POQ是等腰直角三角形，已知OA⊥OB，那么OB⊥PQ，此時OB為∠POQ的對角線，即P、Q關于y軸對稱由此得解；
②OP為邊，此時OP∥AQ，由于∠OPA=90°，那么平行四邊形OPAQ為矩形，即∠POQ是等腰直角三角形，解法同①．
解答：解：（1）如圖（1），連接OP．
∵AP是⊙O的切線，點P是切點，
∴∠OPA=90°．
又∵A的坐標為（4，0），⊙O的半徑是2，
∴OA=4，OP=2，
∴在Rt△OPA中，AP==2；

（2）∵在Rt△OPA中，∠OPA=90°，OA=4，OP=2，
∴∠OAP=30°（30°角所對的直角邊是斜邊的一半），
∴tan∠OAP=，即=，
∴OB=．
∴直線AB的解析式為：y=tan150°x+OB=-x+；

（3）存在；
①如圖（2），設四邊形OAPQ為平行四邊形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；
∵AB⊥OP，OB⊥OA，
∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，
∴∠POQ=90°，
∵OP=OQ（⊙O的半徑），
∴△POQ是等腰直角三角形，
∴OB是∠POQ的平分線且是邊PQ上的中垂線，
∴∠BOQ=∠BOP=45°，
∴∠AOP=45°，
設P（x，x）、Q（-x，x）（x＞0），
∵OP=2代入得=2，解得x=，
∴Q點坐標是（-，）；（1分）
②如圖（3）所示，四邊形OPAQ為平行四邊形，
同理可得Q點坐標是（，-）．
點評：此題主要考查的是圓的綜合題，涉及到的知識點有：待定系數法求一次函數的解析式，切線的性質以及平行四邊形的判定，還涉及到相似三角形的判定、等腰直角三角形的性質、角平分線的定義等知識，難度較大．