Question

（2013•咸寧）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2x+b（b＜0）與坐標軸交于A，B兩點，與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交于D點，過點D作DC⊥x軸，垂足為G，連接OD．已知△AOB≌△ACD．
（1）如果b=-2，求k的值；
（2）試探究k與b的數量關系，并寫出直線OD的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先求出直線y=2x-2與坐標軸交點的坐標，然后由△AOB≌△ACD得到CD=OB，AO=AC，即可求出D坐標，由點D在雙曲線y=

k

x

（ x＞0）的圖象上求出k的值；
（2）首先直線y=2x+b與坐標軸交點的坐標為A（-

b

2

，0），B（0，b），再根據△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐標，把D點坐標代入反比例函數解析式求出k和b之間的關系，進而也可以求出直線OD的解析式．

解答：解：（1）當b=-2時，
直線y=2x-2與坐標軸交點的坐標為A（1，0），B（0，-2）．
∵△AOB≌△ACD，
∴CD=OB，AO=AC，
∴點D的坐標為（2，2）．
∵點D在雙曲線y=

k

x

（ x＞0）的圖象上，
∴k=2×2=4．

（2）直線y=2x+b與坐標軸交點的坐標為A（-

b

2

，0），B（0，b）．
∵△AOB≌△ACD，
∴CD=OB，AO=AC，
∴點D的坐標為（-b，-b）．
∵點D在雙曲線y=

k

x

（ x＞0）的圖象上，
∴k=（-b）•（-b）=b²．
即k與b的數量關系為：k=b²．
直線OD的解析式為：y=x．

點評：本題主要考查反比例函數的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質以及反比例函數圖象的特征，此題難度不大，是一道不錯的中考試題．