Question

【題目】（1）發現：如圖1，點為線段外一動點，且，，當點位于 時，線段的長取得最大值，最大值為 （用含的式子表示）；

（2）應用：如圖2，點為線段外一動點，，，以為邊作等邊，連接，求線段的最大值；

（3）拓展：如圖3，線段，點為線段外一動點，且，，，求線段長的最大值及此時的面積．

Answer 1

【答案】（1）CB的延長線上，a+b；（2）6；（3）最大值為3+，△PBM的面積為

【解析】

（1）根據點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結論；
（2）根據等邊三角形的性質得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據全等三角形的性質得到CD=BE，利用（1）中的結論即可得到結果；
（3）將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△AP'N，連接BN，得到△APP'是等腰直角三角形，根據全等三角形的性質得到P'A=PA=2，AN=AM，根據當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為+3，過點P作PQ⊥AB的延長線于點Q，

利用勾股定理求出PB的長，根據△PBM為等腰直角三角形，可求出面積.

解：（1）∵點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，
∴當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，
故答案為：CB的延長線上，a+b；
（2）如圖2中，以AC為邊向上作等邊△ACE，連接BE．

∵△ABD與△ACE是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD與△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴CD=BE；
∴線段BE長的最大值=線段CD的最大值，
∴由（1）知，當線段BE的長取得最大值時，點E在BA的延長線上，
∴最大值為=4+2=6．
∴線段CD的最大值為6；

（3）解：如圖3中，將△APM繞著點A順時針旋轉90°得到△AP'N，連接BN，PP′．

∴△APM≌△AP'N，
∴AN=AM，AP=AP'=2，
∴線段AM長的最大值=線段AN長的最大值，
∴當N在線段AB的延長線時，線段AN取得最大值，最大值=AB+BN，
∴∠PAP'=90°，
∴△APP'是等腰三角形，
∴PP'=，

∵△BPM是等腰直角三角形，
∴∠BPM=∠MAN=90°，PM=PB=P'N，
∴∠AMP=∠ABP=∠N，
∴PB∥P'N，
∴四邊形PBNP'是平行四邊形，
∴BN=PP'，
∴AN的最大值為：AB+BN=AB+PP'=3+，

∴AM的最大值為3+，

過點P作PQ⊥AB的延長線于點Q，

∵∠PAP′=90°，∠P′AB=∠PP′A=45°，

∴∠PAQ=45°，

∴△PAQ為等腰直角三角形，

∵AP=2，由勾股定理可得：

∴AQ=PQ=，

在△PBQ中，PQ2+BQ2=PB2，

即，

∴PB2=，

∵△PBM為等腰直角三角形，

此時△PBM的面積=×=.