Question

已知拋物線y=ax²-2ax+n（a＞0）與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），交y軸的負半軸于點C，且x₁＜x₂，OC=OB，S_△ABC=6
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若D為拋物線的頂點，P為拋物線上的點，且在第二象限，S_△PBD=15，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點M，使△MBD為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的M點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的解析式，可用n表示出C、B的坐標（OB=OC），易求得拋物線的對稱軸方程，根據點B的坐標即可求得點A的坐標，從而得到AB的長，利用△ABC的面積即可求得n的值，從而求出A、B、C的坐標，代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）根據（1）題所得拋物線的解析式，即可求得點D的坐標；由于△PBD的面積無法直接求出，需要通過其他圖形來間接獲得，過P作直線PE∥BD，那么△PBD、△EBD就同底等高，所以面積相等；易求得直線BD的解析式，設出點P的坐標，即可求得PE的函數解析式，從而得到點E的坐標；過D作DF⊥y軸于F，△EBD的面積，可由△EOB、梯形FDBO的面積和減去△EDF的面積獲得，根據已知的△PBD的面積（即△EBD的面積）可得到關于P點橫坐標的方程，從而求出點P的坐標．
（3）此題應分作三種情況考慮：
①以M為直角頂點，連接CD、BD，根據B、C、D的坐標，易求得BC、CD、BD的長，根據勾股定理逆定理，可求得此時△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，此時點C滿足點M的要求；
②以B為直角頂點，已求得直線BD的解析式，由于BM⊥BD，那么直線BM的斜率與直線BD的斜率的乘積為-1，結合點B的坐標，可求得直線BM的解析式，聯立拋物線的解析式，即可求得點M的坐標；
③以D為直角頂點，方法同②．

解答：解：（1）易知：C（0，n），B（-n，0）；
由題意知，拋物線的對稱軸為：x=1；
故A（n+2，0），AB=-2n-2；
∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

（-2n-2）（-n）=6，
即n²+n-6=0，
解得n=2（舍去），n=-3；
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）；
設拋物線的解析式為：y=a（x-3）（x+1），依題意有：
a（0-3）（0+1）=-3，即a=1；
∴該拋物線的解析式為：y=x²-2x-3．

（2）設點P的坐標為（a，a²-2a-3）；
易知B（3，0），D（1，-4），
∴直線BD：y=2x-6；
過P作直線PE∥BD，交y軸于E，則S_△PBD=S_△BED，
設直線PE的解析式為y=2x+h，則有：
2a+h=a²-2a-3，h=a²-4a-3，
即直線PE：y=2a+a²-4a-3，
則E（0，a²-2a-3）；
過D作DF⊥y軸于F，則有：
DF=1，OF=4，EF=a²-2a-3+4=a²-2a+1；
∴S_△EBD=S_△EOB+S_梯形OBDF-S_△EDF
=

1

2

×（a²-2a-3）×3+

1

2

×（1+3）×4-

1

2

×（a²-2a+1）=15，
即a²-4a-12=0，
解得a=6（舍去），a=-2；
∴P（-2，5）．

（3）假設存在符合條件的M點；
已知B（3，0），C（0，-3），D（1，-4）；
①以M為直角頂點；
連接BC、CD；
則BC=3

2

，CD=

2

，BD=2

5

；
∴BC²+CD²=18+2=20=BD²，
即△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°；
此時M、C重合，
故M（0，-3）；
②以B為直角頂點；
由（2）知，直線BD：y=2x-6；
可設直線BM：y=-

1

2

x+h，由于點B（3，0），
則有：-

3

2

+h=0，
即h=

3

2

，
∴直線BM：y=-

1

2

x+

3

2

；
聯立拋物線的解析式有：

y=x2-2x-3 y=- 1 2 x+ 3 2

，
解得

x=3 y=0

（舍去），

x=- 3 2 y= 9 4

；
∴M（-

3

2

，

9

4

）；
③以D為直角頂點，同②可求得M（

1

2

，-

15

4

）．
綜上可知，存在符合條件的M點，且坐標為：M₁（0，-3），M₂（-

3

2

，

9

4

），M₃（

1

2

，-

15

4

）．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、函數圖象交點坐標的求法、直角三角形的判定等知識．在所求圖形面積不規則時，一定要設法將其轉化為其他規則圖形面積的和差來解；在（3）題中，要根據不同的直角頂點分類討論，以免漏解；此題的綜合性較強，難度很大．