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如圖，一個正方形擺放在桌面上，則正方形的邊長為______．

如圖，由正方形可得，AB=AD，∠BAD=90°，
∠1+∠2=180°-90°=90°，
∵BE⊥AE，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE和△DAF中，

∠1=∠3

∠AEB=∠DFA

AB=AD

，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE=DF=1，
在Rt△ABE中，AB=

BE2+AE2

22+12

，
即正方形的邊長為

．
故答案為：

．

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如圖，在平面直角坐標系內，放置一個直角梯形AOCD，已知AD=3，AO=8，CO=5，若點P在梯形內，且S_△PAD=S_△POC，S_△PAO=S_△PCD，那么點P的坐標是______．

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已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC、BD相交于O．求證：OB=OC．

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已知：如圖1，點O為正方形ABCD內任一點，連接AO、BO，分別以AO、BO為一邊作如圖所示正方形BOMN和正方形AOFE，連接CN
（1）AE、CN之間有怎樣的關系？請驗證；
（2）若點O是正方形ABCD外部一點，如圖2，其他條件不變（1）的結論是否成立？請驗證．

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如圖，P是正方形ABCD內一點，在正方形ABCD外有一點E，滿足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
（1）在圖中是否存在兩個全等的三角形，若存在請寫出這兩個三角形并證明；若不存在請說明理由；
（2）若（1）中存在，這兩個三角形通過旋轉能夠互相重合嗎？若重合請說出旋轉的過程；若不重合請說明理由；
（3）PB與BE有怎樣的位置關系，說明理由；
（4）若PA=1，PB=2，∠APB=135°，求AE的值．