Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3a過點A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）直線y＝x+4與y軸交于點B，與該拋物線對稱軸交于點C．如果該拋物線與線段BC有交點，結合函數的圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的對稱軸為x＝﹣2；（2）a≥或a≤﹣2．

【解析】

（1）根據坐標軸上點的坐標特征代入點A的坐標，得出b＝4a，則解析式為y＝ax2+4ax+3a，進一步求得拋物線的對稱軸；

（2）結合圖形，分兩種情況：①a＞0；②a＜0；進行討論即可求解．

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3a過點A（﹣1，0），

∴a﹣b+3a＝0，

∴b＝4a，

∴拋物線的解析式為y＝ax2+4ax+3a，

∴拋物線的對稱軸為x＝﹣＝﹣2；

（2）∵直線y＝x+4與y軸交于點B，與該拋物線對稱軸交于點C，

∴B（0，4），C（﹣2，2），

∵拋物線y＝ax2+bx+3a經過點A（﹣1，0）且對稱軸x＝﹣2，

由拋物線的對稱性可知拋物線也一定過A的對稱點（﹣3，0），

①a＞0時，如圖1，

將x＝0代入拋物線得y＝3a，

∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，

∴3a≥4，

解得a≥，

②a＜0時，如圖2，

將x＝﹣2代入拋物線得y＝﹣a，

∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，

∴﹣a≥2，

解得a≤﹣2；

綜上所述，a≥或a≤﹣2．