Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點，AC=2，過點C作⊙O的切線DC，P點為優弧上一動點（不與A、C重合）．
（1）求∠APC與∠ACD的度數；
（2）當點P移動到CB弧的中點時，求證：四邊形OBPC是菱形．
（3）P點移動到什么位置時，△APC與△ABC全等，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，由直徑AB=4，得到半徑OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即三角形AOC為等邊三角形，可得出三個內角都為60°，再由同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，得到∠APC為30°，由CD為圓O的切線，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD為直角，用∠OCD-∠OCA可得出∠ACD的度數；
（2）由∠AOC為60°，AB為圓O的直徑，得到∠BOC=120°，再由P為的中點，得到兩條弧相等，根據等弧對等角，可得出∠COP=∠BOP=60°，進而得到三角形COP與三角形BOP都為等邊三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四邊形OBPC為菱形；
（3）P有兩個位置使三角形APC與三角形ABC全等，其一：P與B重合時，顯然兩三角形全等；第二：當CP為圓O的直徑時，此時兩三角形全等，理由為：當CP與AB都為圓的直徑時，根據直徑所對的圓周角為直角可得出三角形ACP與三角形ABC為直角三角形，由AB=CP，AC為公共邊，利用HL即可得到直角三角形ACP與直角三角形ABC全等．
解答：解：（1）連接AC，如圖所示：

∵AC=2，OA=OB=OC=AB=2，
∴AC=OA=OC，
∴△ACO為等邊三角形，
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC=∠AOC=30°，
又DC與圓O相切于點C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，
∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=90°-60°=30°；…（4分）
（2）連接PB，OP，
∵AB為直徑，∠AOC=60°，
∴∠COB=120°，
當點P移動到CB的中點時，∠COP=∠POB=60°，
∴△COP和△BOP都為等邊三角形，
∴OC=CP=OB=PB，
則四邊形OBPC為菱形；…（8分）
（3）當點P與B重合時，△ABC與△APC重合，顯然△ABC≌△APC；
當點P繼續運動到CP經過圓心時，△ABC≌△CPA，理由為：
∵CP與AB都為圓O的直徑，
∴∠CAP=∠ACB=90°，
在Rt△ABC與Rt△CPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）．
綜上所述當點P與點B重合或CP經過圓心時，△APC與△ABC全等
點評：此題考查切線的性質，全等三角形的判定與性質，菱形的判定，等邊三角形的判定與性質，以及弧、圓心角及弦之間的關系，熟練掌握性質與判定是解本題的關鍵．