【題目】如圖，拋物線y= 
x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（﹣1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論．
【答案】（1）y= 
x2﹣ 
x﹣2；（2）見解析
【解析】試題分析：（1）因為點A在拋物線上，所以將點A代入函數解析式即可求得；
（2）由函數解析式可以求得其與x軸、y軸的交點坐標，即可求得AB、BC、AC的長，由勾股定理的逆定理可得三角形的形狀.
試題解析：（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=
x2+bx-2上，
∴
×（-1）2+b×（-1）-2=0，b=-
∴拋物線的解析式為y=
x2-
x-2
（2）當x=0時y=-2，
∴C（0，-2），OC=2．
當y=0時， 
x2-
x-2=0，
∴x1=-1，x2=4，
∴B（4，0）．
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形．
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4，OC=3，若拋物線經過O，A兩點，且頂點在BC邊上，對稱軸交BE于點F，點D，E的坐標分別為（3，0），（0，1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）猜想△EDB的形狀并加以證明；
（3）點M在對稱軸右側的拋物線上，點N在x軸上，請問是否存在以點A，F，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．
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【題目】閱讀下列材料，并完成相應的任務：
楊輝三角
我國著名數學家華羅庚曾在給青少年撰寫的“數學是我國人民所擅長的學科”一文中談到，我國古代數學的許多創新與發展都曾居世界前列，他說：“實際上我們祖國偉大人民在人類史上，有過無比睿智的成就．”其中“楊輝三角”就是一例．
在我國南宋數學家楊輝（約13世紀）所著的《詳解九章算術》（1261年）一書中，給出了二項式
的展開式（按
的次數由大到小的順序排列）及其系數規律．
如圖所示
任務：（1）通過觀察，圖中的（▲）中可填入的數字依次為______、______、______；
（2）請直接寫出
的展開式：
______；
（3）根據（2）中的規律，求
的值，寫出計算過程．
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【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，點A（3，0），點B（0，4），把△ABO繞點A順時針旋轉，得△AB′O′，點B，O旋轉后的對應點為B′，O．
（1）如圖1，當旋轉角為90°時，求BB′的長；
（2）如圖2，當旋轉角為120°時，求點O′的坐標；
（3）在（2）的條件下，邊OB上的一點P旋轉后的對應點為P′，當O′P+AP′取得最小值時，求點P′的坐標．（直接寫出結果即可）
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【題目】已知∠MON=
，P為射線OM上的點，OP=1．
（1）如圖1，
，A，B均為射線ON上的點，OA=1，OB
OA，△PBC為等邊三角形，且O，C兩點位于直線PB的異側，連接AC．
①依題意將圖1補全；
②判斷直線AC與OM的位置關系并加以證明；
（2）若
，Q為射線ON上一動點（Q與O不重合），以PQ為斜邊作等腰直角△PQR，使O，R兩點位于直線PQ的異側，連接OR． 根據（1）的解答經驗，直接寫出△POR的面積．
圖1 備用圖
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【題目】創新需要每個人的參與，就拿小華來說，為了解決曬衣服的，聰明的他想到了一個好辦法，在家寬敞的院內地面
上立兩根等長的立柱
、
(均與地面垂直),并在立柱之間懸掛一根繩子.由于掛的衣服比較多,繩子的形狀近似成了拋物線
,如圖
,已知立柱
米, 
米.
（1）求繩子最低點離地面的距離;
（2）為了防止衣服碰到地面,小華在離為
米的位置處用一根垂直于地面的立柱
撐起繩子 (如圖2),使左邊拋物線
的最低點距為米,離地面
米,求的長.
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【題目】圖1，是一個長為
，寬為
的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．
（1）圖2中的陰影部分的面積為 ；
（2）觀察圖2，三個代數式
，
，
之間的等量關系是 ；
（3）若
，
，求
；
（4）觀察圖3，你能得到怎樣的代數恒等式呢？
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【題目】如圖，平面直角坐標系中，點A、B、C在x軸上，點D、E在y軸上，OA=OD=2，OC=OE=4，B為線段OA的中點，直線AD與經過B、E、C三點的拋物線交于F、G兩點，與其對稱軸交于M，點P為線段FG上一個動點（與F、G不重合），PQ∥y軸與拋物線交于點Q．
（1）求經過B、E、C三點的拋物線的解析式；
（2）判斷△BDC的形狀，并給出證明；當P在什么位置時，以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形，并求出此時點P的坐標；
（3）若拋物線的頂點為N，連接QN，探究四邊形PMNQ的形狀：①能否成為菱形；②能否成為等腰梯形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由．
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【題目】（1）（問題情境）小明遇到這樣一個問題：
如圖①，已知
是等邊三角形，點
為
邊上中點，
，
交等邊三角形外角平分線
所在的直線于點
，試探究
與的數量關系．
小明發現：過作
，交
于
，構造全等三角形，經推理論證問題得到解決．請直接寫出與的數量關系，并說明理由．
（2）（類比探究）
如圖②，當是線段上（除
外）任意一點時（其他條件不變）試猜想與的數量關系并證明你的結論．
（3）（拓展應用）
當是線段上延長線上，且滿足
（其他條件不變）時，請判斷
的形狀，并說明理由．
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