Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F分別為OB，OD的中點延長AE至G，使EG=AE，連接CG．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）當AB=AC時，判斷四邊形EGCF是什么形狀？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）矩形，理由見解析．

【解析】

（1）根據題意由平行四邊形的性質得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行線的性質得出∠ABE=∠CDF，證出BE=DF，由SAS證明△ABE≌△CDF即可；

（2）由題意證出AB=OA，并由等腰三角形的性質得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，證出EG=CF，得出四邊形EGCF是平行四邊形，即可得出結論．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，

∴∠ABE=∠CDF，

∵點E，F分別為OB，OD的中點，

∴BE=OB，DF=OD，

∴BE=DF，

在△ABE和△CDF中，，

∴△ABE≌△CDF（SAS）.

（2）當AB=AC時，四邊形EGCF是矩形；理由如下：

∵AC=2OA，AC=2AB，

∴AB=OA，

∵E是OB的中點，

∴AG⊥OB，

∴∠OEG=90°，

同理：CF⊥OD，

∴AG∥CF，

∴EG∥CF，

由（1）得：△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

∵EG=AE，

∴EG=CF，

∴四邊形EGCF是平行四邊形，

∵∠OEG=90°，

∴四邊形EGCF是矩形．