Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為1．對角線AC、BD相交于點O，P是BC延長線上的一點，AP交BD于點E，交CD于點H，OP交CD于點F，且EF與AC平行．

（1）求證：EF⊥BD．

（2）求證：四邊形ACPD為平行四邊形．

（3）求OF的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據正方形的性質求出AC⊥BD，即可得出答案；

（2）根據平行線得出＝，求出AC∥DP，根據平行四邊形的判定推出即可；

（3）求出OE和EF的長，再根據勾股定理求出即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵EF∥AC，

∴EF⊥BD；

（2）證明：

∵EF∥AC，

∴＝，＝，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥CP，OA＝OC，

∴＝，

即＝，

∴AO∥DP，

∵AD∥CP，

∴四邊形ACPD為平行四邊形；

（3）解：由勾股定理得：AC＝BD＝＝，

∵四邊形ACPD為平行四邊形，

∴CP＝AD＝BC，

∴＝，

∵AD∥BP，

∴＝＝，

∴DE＝BD＝，OE＝OD﹣DE＝﹣＝，

∵DO＝BD＝，

∵∠DEF＝∠DOC＝90°﹣∠EDF＝45°，

∴∠DFE＝45°，

∴EF＝DE＝，

在Rt△OEF中，由勾股定理得：OF＝＝＝．