Question

在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2，E為BC的中點，以OE為直徑的⊙O′交x軸于D點，過點D作DF⊥AE于F．
（1）求OA，OC的長； 
（2）求證：DF為⊙O′的切線；
（3）由已知可得，△AOE是等腰三角形．那么在直線BC上是否存在除點E以外的點P，使△AOP也是等腰三角形？如果存在，請你證明點P與⊙O′的位置關系，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在矩形OABC中，利用邊長之間的關系和面積公式即可求得OC，OA的長；
（2）連接O′D，通過證明△OCE≌△ABE得到DF⊥O′D，所以DF為⊙O′切線；
（3）分兩種情況進行分析：①當AO=AP；②當OA=OP，從而得到在直線BC上，除了E點外，既存在⊙O′內的點P，又存在⊙O′外的點P₂、P₃、P₄，它們分別使△AOP為等腰三角形．
解答：（1）解：在矩形OABC中，設OC=x，則OA=x+2
∴x（x+2）=15
∴x₁=3，x₂=-5
∵x₂=-5（不合題意，舍去）
∴OC=3，OA=5；

（2）證明：連接O′D；
∵在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=，
∴△0CE≌△ABE，
∴EA=EO，
∴∠EOA=∠EAO；
∵在⊙O′中，O′O=O′D，
∴∠O′OD=∠O′DO，
∴∠O′DO=∠EAO，
∴O′D∥AE；
∵DF⊥AE，
∴DF⊥O′D，
∵點D在⊙O′上，O′D為⊙O′的半徑，
∴DF為⊙O′切線；

（3）解：存在，理由如下：
①當A0=AP時，以點A為圓心，以AO為半徑畫弧交BC于P₁和P₄兩點
過P₁點作P₁H⊥OA于點H，P₁H=0C=3；
∵AP_l=OA=5，
∴AH=4，
∴OH=l，
求得點P₁（1，3）同理可得：P₄（9，3）；
②當OA=OP時，
同上可求得P₂（4，3），P₃（-4，3），
∴在直線BC上，除了E點外，既存在⊙O′內的點P，又存在⊙O′外的點P₂、P₃、P₄，它們分別使△AOP為等腰三角形．
點評：主要考查了矩形的性質和圓中的有關性質，等腰三角形的判定以及一元二次方程在幾何圖形中的運用．要熟練掌握這些性質才能靈活運用．