Question

如圖1，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為，

直線：與坐標軸分別交于A、C兩點，點B的坐標為（－4,1），⊙B與

軸相切于點M.

1.求點A的坐標及∠CAO的度數

2.⊙B以每秒1個單位長度的速度沿軸向右平移，同時，直線繞點A逆時針勻速旋轉.當⊙B第一次與⊙O相切時，直線也恰好與⊙B第一次相切，問：直線繞點A

每秒旋轉多少度？

3.如圖2，過A、O、C三點作⊙O₁，點E為劣弧AO上一點，連接EC、EA、EO，

當點E在劣弧AO上運動時(不與A、O兩點重合)，的值是否發生變化？如

果不變，求其值；如果變化，說明理由.

 

Answer 1

 

1.當時，，

∴A（,0）.----------------------------------------------------------1分

當時，，

∴C（,0），

∴OA＝OC，

∴∠CAO＝∠OCA.---------------------------------------------------------2分

∵OA⊥OC，

∴∠CAO＝45°.----------------------------------------------------------3分

2.如圖，設⊙B平移t秒到⊙B₁處時與⊙O第一次相切.

設⊙B₁與x軸相切于點N，連接OB₁，

 

 

 

 

 

 

 

 

∵點B的坐標為（－4,1），⊙B與軸相切于點M，

∴⊙B的半徑是1，OM＝4，

∴B₁N＝1.

∵⊙O的半徑是，

∴OB₁＝，

∴ON＝，

∴MN＝OM―ON＝4―1＝3.

∴當⊙B第一次與⊙O相切時,t＝3.----------------------------------------6分

當⊙B第一次與⊙O相切時，直線旋轉到直線AP的位置，P是直線與⊙B₁的切點.

∵ON＝B₁N＝1，∠B₁NO＝90°，

∴∠B₁ON＝∠OB₁N＝45°.

∵OA＝OB₁＝，

∴∠OAB₁＝∠OB₁A＝∠B₁ON＝22.5°.------------------------------------7分

∵AP、AN都是⊙B1的切線，

∴AP＝AN，∠B₁PA＝∠B₁NA＝90°.

∴△B₁AP≌△B₁AN，

∴∠B₁AP＝∠B₁AN＝22.5°，

∴∠PAN＝45°.----------------------------------------------------------8分

∴∠PAC＝∠PAN＋∠NAC＝90°.

∴直線旋轉角是90°.---------------------------------------------------9分

∴旋轉的速度＝90°÷3＝30°.--------------------------------------------10分

3.的值不變，等于． -------------------------------------11分

如圖，在CE上截取CK=EA，連接OK，--------------------------------------12分

 

 

 

 

 

 

∵∠OAE=∠OCK，OA=OC．

∴△OAE≌△OCK．

∴OE=OK，∠EOA=∠KOC，

∴∠EOK=∠AOC=90°．

∴EK=EO，-----------------------------------------------------------13分

∴--------------------

 解析:略