Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，點E、F分別在AB、DC上，AE=DF=2，現把一塊直徑為2的量角器（圓心為O）放置在圖形上，使其0°線MN與EF重合；若將量角器0°線上的端點N固定在點F上，再把量角器繞點F順時針方向旋轉∠α（0°＜α＜90°），此時量角器的半圓弧與EF相交于點P，設點P處量角器的讀數為n°．
（1）用含n°的代數式表示∠α的大小；
（2）當n°等于多少時，線段PC與MF平行？
（3）在量角器的旋轉過程中，過點M′作GH⊥M′F，交AE于點G，交AD于點H．設GE=x，△AGH的面積為S，試求出S關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）連接O′P，則∠PO′F=n°，因為O′P=O′F，所以∠O′FP=∠a，由三角形內角和定理得出結論；
（2）連接M′P，因為M′F是半圓O′的直徑，所以M′P⊥PF，又因為FC⊥PF，所以FC∥M′P，若PC∥M′F，四邊形M′PCF是平行四邊形，故PC=M′F=2FC，∠α=∠CPF=30°，代入（1）中關系式即可；
（3）以點F為圓心，FE的長為半徑畫弧ED，由于GM′⊥M′F于點M′，則GH是弧ED的切線．同理GE、HD也都是弧ED的切線，GE=GM′，HM′=HD．設GE=x，則AG=2-x，再設DH=y，則HM′=y，AH=2-y；在Rt△AGH中，由勾股定理得y與x的關系式，再代入三角形的面積公式即可．

解答：解：（1）連接O′P，則∠PO′F=n°；
∵O′P=O′F，
∴∠O′FP=∠a，
∴n°+2∠α=180°，即∠α=90°-

1

2

n°；

（2）連接M′P、PC．
∵M′F是半圓O′的直徑，
∴M′P⊥PF；
又∵FC⊥PF，
∴FC∥M′P，
若PC∥M′F，
∴四邊形M′PCF是平行四邊形，∠α=30°，
∴PC=M′F=2FC，∠α=∠CPF=30°；
代入（1）中關系式得：
30°=90°-

1

2

n°，
即n°=120°；

（3）以點F為圓心，FE的長為半徑畫弧ED；
∵GM′⊥M′F于點M′，
∴GH是弧ED的切線，
同理GE、HD也都是弧ED的切線，
∴GE=GM′，HM′=HD；
設GE=x，則AG=2-x，
設DH=y，則HM′=y，AH=2-y；
在Rt△AGH中，AG²+AH²=GH²，得：
（2-x）²+（2-y）²=（x+y）²
即：4-4x+x²+4-4y+y²=x²+2xy+y²
∴y=

4-2x

x+2

∴S=

1

2

AG•AH=

1

2

（2-x）（2-y）=

4x-2x2

x+2

（0＜x＜2）
即：S與x函數關系式為S=

4x-2x2

x+2

（0＜x＜2）．

點評：本題綜合考查了圓周角的判定定理，切線的性質及判定定理，勾股定理的運用，是一道綜合性較好的題目．