Question

如圖，點C的坐標為（0，3），點A的坐標為（，0），點B在x軸上方且BA⊥x軸，，過點C作CD⊥AB于D，點P是線段OA上一動點，PM∥AB交BC于點M，交CD于點Q，以PM為斜邊向右作直角三角形PMN，∠MPN=30°，PN、MN的延長線交直線AB于E、F，設PO的長為x，EF的長為y．
（1）求線段PM的長（用x表示）；
（2）求點N落在直線AB上時x的值；
（3）求PE是線段MF的垂直平分線時直線PE的解析式；
（4）求y與x的函數關系式并寫出相應的自變量x取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵點C的坐標為（0，3），點A的坐標為（，0），
∴OC=AD=3，OA=CD=3，
∵CD⊥AB，tanB=，
∴BD==3，
∵PM∥AB，CD⊥AB，BA⊥x軸，
∴四邊形OCQP是矩形，
∴OP=CQ=x，PQ=OC=3，
∴，
即，
∴MQ=x，
∴PM=PQ+MQ=3+x；

（2）∵∠PNM=90°，∠MPN=30°，
∴∠NPA=60°，
∴在Rt△NPA中，cos∠NPA==，
∴PN=2PA=2（3-x），
在Rt△PNM中，PN=PM•cos∠MPN=PM•cos30°=PM=（3+x），
∴2（3-x）=（3+x），
解得：x=；

（3）設E（3，m），
∵∠MPN=30°，
∴∠NPA=60°，
在Rt△EPA中，tan∠EPA===，
∴m=9-x，
∴點E的坐標為：（3，9-x），
∵PE為MF的垂直平分線，PM∥EF，
∴MN：FN=PN：EN，
∴PN=EN，
∴點N的坐標為：（，），
過點N作NG⊥OA于G，
∴PG=-x=，
∴PN=2PG=3-x，
∴PM===6-x，
∴6-x=3+x，
解得：x=，
∴點P的坐標為（，0），點E的坐標為（3，6），
設直線PE的解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直線PE的解析式為：y=x-3；

（4）過N作NG⊥x軸于G，
∵PN=PM•cos∠NPM=PM，
∴NG=PN•sin∠NPM=PN=PM，PG=PN•cos∠NPG=PN=PM，
∴點N橫坐標為PM+x，點N的縱坐標為PM，
∵PM∥EF，
∴△PNM∽△ENF，
∴EF：PM=AG：GP，
即，
整理得：y=12-PM-x=12-（3+x）-x=9-x，
x的取值范圍為：（0＜x＜）．
分析：（1）由題意易得四邊形OCQP是矩形，則OP=CQ=x，PQ=OC=3，又由平行線分線段成比例定理，可得，則可求得MQ的值，繼而求得PM的值；
（2）由∠PNM=90°，∠MPN=30°，可得∠NPA=60°，然后在Rt△NPA中，表示出PN的值，在Rt△PNM中，也可表示出PN，則可得方程2（3-x）=（3+x），解此方程即可求得答案；
（3）首先設點E（3，m），利用三角函數的知識即可求得點E的坐標為：（3，9-x），又由PE是線段MF的垂直平分線，可求得點N的坐標，繼而可得方程6-x=3+x，解此方程則可求得點P與E的坐標，再利用待定系數法即可求得此直線的解析式；
（4）由△PNM∽△ENF，根據相似三角形對應高的比等于相似比，即可求得EF：PM=AG：GP，繼而可求得y與x的函數關系式，由PN、MN的延長線交直線AB于E、F，可得x的取值范圍從0開始，到點N在BD上時結束．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、解直角三角形的知識、矩形的判定與性質以及待定系數法求一次函數的解析式．此題難度較大，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．