Question

如圖，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，，BF與AD交于E．
（1）求證：AE=BE；
（2）若A，F把半圓三等分，BC=12，求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連AC，要證明AE=BE，只要證∠ABE=∠BAE；BC為⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，而AD⊥BC，可得∠BAD=∠ACB，由，得∠ACB=∠ABF，這樣就有∠ABE=∠BAE；
（2）由A，F把半圓三等分，得到∠ACB=∠CBF=30°，而BC=12，得到AB=6，再根據∠BAD=∠ACB，得到∠BAD=30°，所以BD=3，最后在Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，即可求出BE．
解答：解：（1）連AC，如圖，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠ACB，
又∵，
∴∠ACB=∠ABF，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE；

（2）∵A，F把半圓三等分，
∴∠ACB=∠CBF=∠ABF=30°，
∴∠BAD=30°，
在Rt△ABC中，BC=12，所以AB=BC=6，
在Rt△ABD中，AB=6，所以BD=AB=3，
Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，
∴DE===，
∴BE=2，
所以AE=2．
點評：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了直徑所對的圓周角為90度以及含30度的直角三角形三邊的關系為1：：2．