Question

某工廠的某件產品按質量分成10個檔次，生產第一檔次（即最低檔檔次）的產品一天生產76件，每件利潤10元，每提高一個檔次，利潤每件增加2元．
（1）當每件利潤為16元時，此產品質量在第幾檔次？
（2）由于生產工序不同，此產品每提高一個檔次，一天生產量減少4件，若生產第x檔的產品一天的利潤為y元（其中x為整數，且1≤x≤10），求出y關于x的函數解析式；
（3）若生產某檔次產品一天的總利潤為1080元，該工廠生產的產是第幾檔的產品？
（4）為了獲得最大的利潤，廠長決定每天都生產第10檔次的產品，廠長的這一決定是否正確？你是怎樣看待這個問題的？

Answer 1

分析：（1）由16-10=6可知增加的利潤，由每提高一個檔次，利潤每件增加2元，即可求出此產品質量在第幾檔次；
（2）每件的利潤為10+2（x-1），生產件數為76-4（x-1），則y=[10+2（x-1）][76-4（x-1）]；
（3）由題意可令y=1080，求出x的實際值即可；
（4）為了獲得最大的利潤，廠長決定每天都生產第10檔次的產品，廠長的這一決定不正確，由（3）求出函數的最值和此時x的值即可知道10是否合理．

解答：解（1）當每件利潤為16元時，利潤增加16-10=6元，
因為每提高一個檔次，利潤每件增加2元，所以提高了6÷2=3檔，
所以此產品質量在第4檔次；
（2）據題意可得y=[10+2（x-1）][76-4（x-1）]，
整理，得y=-8x²+128x+640；
（3）當利潤是1080元時，即-8x²+128x+640=1080
解得x₁=5，x₂=11，
因為x=11＞10，不符合題意，舍去．
因此取x=5，
當生產產品的質量檔次是在第5檔次時，一天的總利潤為1080元；
（4）為了獲得最大的利潤，廠長決定每天都生產第10檔次的產品，廠長的這一決定不正確，
理由如下：
∵y=-8（x-8）²+1152，a=-8＜0，
∴當x=8時，y_最大=1152（元），
∴生產第八檔次是，一天的總利潤最大，最大利潤是1152元，而不是10檔次的產品．

點評：此題考查的是二次函數的實際應用，難度一般，注意，在市場營銷問題中，一件的利潤和件數，一個量增加的同時，另一個量會減少，要根據題意，正確使用，先確定二次函數，再解一元二次方程，由一般到特殊．