Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AB=2，AC=

3

，D為圓上一點，若AD=

2

，則∠DAC=

15°或75°

．

Answer 1

分析：作OH⊥AC，連結OD，根據垂徑定理得到AH=

3

2

，在Rt△AHO中，根據余弦的定義可得到∠OAH=30°，由于OA²+OD²=AD²，根據勾股定理的逆定理得到△OAD為等腰直角三角形，則∠OAD=45°，然后分類討論：當AC和AD在AB的兩側，∠DAC=∠DAO+∠OAC；當AC和AD在AB的同側，∠DAC=∠DAO-∠OAC．

解答：解：作OH⊥AC，連結OD，
則AH=CH=

1

2

AC=

3

2

，
在Rt△AHO中，OA=1，AH=

3

2

，
∴cos∠OAH=

AH

OA

=

3

2

，
∴∠OAH=30°，
∵OA=OD=1，AD=

2

，
∴OA²+OD²=AD²，
∴△OAD為等腰直角三角形，
∴∠OAD=45°，
當AC和AD在AB的兩側，∠DAC=∠DAO+∠OAC=45°+30°=75°，
當AC和AD在AB的同側，∠DAC=∠DAO-∠OAC=45°-30°=15°，
∴∠DAC為15°或75°．
故答案為15°或75°．

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了特殊角的三角函數值和勾股定理的逆定理．