Question

已知直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點的坐標分別為(4,0)，(0,3).現有兩動點P,Q分別從A,C同時出發，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設運動時間為t秒.

【小題1】填空：菱形ABCD的邊長是 ▲  、面積是 ▲  、
高BE的長是 ▲  ；
【小題2】探究下列問題：
①若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位.當點Q在線段BA上求△APQ的面積S關于t的函數關系式，以及S的最大值；
②若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度變為每秒k個單位，在運動過程中,任何時刻都有相應的k值，使得▲APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形.請探究當t=4秒時的情形，并求出k的值

Answer 1

【小題1】5,24,
【小題2】①6，②或或.解析:
(1)5,24,
(2) ①由題意，得AP=t,AQ=10-2t,如圖1，

過點Q作QGAD,垂足為G,由QGBE得
相似,所以,所以，所以S=()
所以S=(),所以當t=時，S最大值為6
② 要使△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形，根據軸對稱的性質，只要三角形APQ為等腰三角形即可當t=4秒時，因為點P的速度為每秒1個單位。所以AP=4
以下分兩種情況討論：
第一種情況：當點Q在CB上時。因為,所以只存在點使如圖2，

過點作，垂足為M，交AC于F則由得,所以，所以,則，所以
第二種情況，當點Q在BA上時,存在兩點，分別使AP="A" ,PA="P" ①若AP="A" ，如圖3，

,則，所以
②若PA=PQ₃，如圖4,
過點P作PN⊥AB，垂足為N，
由△ANP∽△AEB,得.
∵AE= , ∴AN＝.           
∴AQ₃=2AN=,  ∴BC+BQ₃=10-
則.∴.         
綜上所述，當t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ
沿底邊翻折，翻折后得到菱形的k值為或或.