Question

已知：拋物線y=-x²+（m+3）x-m-2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m＞0，直線y=kx-1經過點A，與y軸交于點D，且AD•BD=2，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下：若A點在B點的左側，P為所得的拋物線的頂點，PH⊥AB，H為垂足，連接PA，直線y=kx-1交x軸于M，若以O，D，M為頂點的三角形與與△HPA相似，請直接寫出所有符合條件的M點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線與x軸有兩個不同的交點，可令y=0，則所得方程的根的判別式△＞0，可據此求出m的取值范圍．
（2）根據已知直線的解析式，可得到D點的坐標；根據拋物線的解析式，可用m表示出A、B的坐標，即可得到AD、BD的長，代入AD×BD=2中，即可求得m的值，從而確定拋物線的解析式．
（3）根據（2）所給的條件求出A、B、D、P、H的坐標，再求出△HPA的三邊長，最后根據以O，D，M為頂點的三角形與與△HPA相似求出OM的長，即可求出M點的坐標．
解答：解：（1）因為拋物線y=-x²+（m+3）x-m-2與x軸有兩個交點，
所以方程x²-（m+3）x+（m+2）=0有兩個不等實根，
所以△=[-（m+3）]²-4（m+2）=（m+1）²＞0，
所以m≠-1；

（2）設A（x₁，0）、B（x₂，0），
則x₁，x₂是方程x²+（m+1）x-（m+2）=0的兩個實根，
∵x²-（m+3）x+（m+2）=（x-1）（x-m-2）=0，
∴x₁=1，x₂=m+2，
利用AD•BD=2，得：2[1+（m+2）²]=52，
解得m=-7和m=3，
∵m＞0，
∴m=3，
所求拋物線的解析式是y=-x²+6x-5；
（3）滿足條件的點有四個：如圖：

M₁（，0），M₂（2，0），M₃（-，0），M₄（-2，0）．
點評：此題考查了二次函數的綜合；根據根的判別式、二次函數解析式的確定、勾股定理、函數圖象的交點坐標及圖形面積的求法進行解答，難度適中．