Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個交點A的坐標為（-1，0），對稱軸為直線x=-2．
（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）點D是拋物線與y軸的交點，點C是拋物線上的另一點．已知以AB為一底邊的梯形ABCD的面積為9．求此拋物線的解析式，并指出頂點E的坐標；
（3）點P是（2）中拋物線對稱軸上一動點，且以1個單位/秒的速度從此拋物線的頂點E向上運動．設點P運動的時間為t秒．
①當t為______秒時，△PAD的周長最小？當t為______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的軸對稱性可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）先根據梯形ABCD的面積為9，可求c的值，再運用待定系數法可求拋物線的解析式，轉化為頂點式可求頂點E的坐標；
（3）①根據軸對稱-最短路線問題的求法可得△PAD的周長最小時t的值；根據等腰三角形的性質可分三種情況求得△PAD是以AD為腰的等腰三角形時t的值；
②先證明△APN∽△PDM，根據相似三角形的性質求得PN的值，從而得到點P的坐標．
解答：解：（1）由拋物線的軸對稱性及A（-1，0），可得B（-3，0）．

（2）設拋物線的對稱軸交CD于點M，交AB于點N，
由題意可知AB∥CD，由拋物線的軸對稱性可得CD=2DM．
∵MN∥y軸，AB∥CD，
∴四邊形ODMN是矩形．
∴DM=ON=2，
∴CD=2×2=4．
∵A（-1，0），B（-3，0），
∴AB=2，
∵梯形ABCD的面積=（AB+CD）•OD=9，
∴OD=3，即c=3．
∴把A（-1，0），B（-3，0）代入y=ax²+bx+3得，
解得．
∴y=x²+4x+3．
將y=x²+4x+3化為頂點式為y=（x+2）²-1，得E（-2，-1）．

（3）①當t為2秒時，△PAD的周長最小；當t為4或4-或4+秒時，△PAD是以AD為腰的等腰三角形．
故答案為：2；4或4-或4+．
②存在．
∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，
∴∠DPM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°，
∴∠PDM=∠APN，
∵∠PMD=∠ANP，
∴△APN∽△PDM，
∴=，
∴=，
∴PN²-3PN+2=0，
∴PN=1或PN=2．
∴P（-2，1）或（-2，2）．
點評：考查了二次函數綜合題，涉及的知識點為：拋物線的軸對稱性，梯形的面積計算，待定系數法求拋物線的解析式，拋物線的頂點式，軸對稱-最短路線問題，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，綜合性較強，有一定的難度．